问答题
设f(x)在闭区间[0，1]上连续，且∫
0
1
f(x)dx＝0，∫
0
1
e
x
f(x)dx＝0，证明在开区间(0，1)内存在两个不同的ξ
1
与ξ
2
，使f(ξ
1
)＝0，f(ξ
2
)＝0．
【正确答案】正确答案：令F(x)＝∫
0
x
f(t)dt，有F
’
(x)＝f(x)，F(0)＝0，F(1)＝0，则0＝∫
0
1
e
x
f(x)dx＝∫
0
1
e
x
d[F(x)]＝e
x
F(x)｜
0
1
－∫
0
1
F(x)e
x
dx＝－∫
0
1
>F(x)e
x
dx， 所以存在ξ∈(0，1)，使F(ξ)e
ξ
＝0．但e
ξ
≠0，所以F(ξ)＝0．由于已有F(0)＝0，F(1)＝0， 所以根据罗尔定理知，存在ξ
1
∈(0，ξ)，ξ
2
(ξ，1)，使F
’
(ξ
1
)＝0，F
’
(ξ
2
)＝0，即f(ξ
1
)＝0，f(ξ
2
)＝0，其中ξ
1
∈(0，ξ)，ξ
2
∈(ξ，1)，证毕．
【答案解析】