解答题
24.[2010年] 一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆．现将贮油罐平放．当油罐中油面高度为
【正确答案】利用定积分(或二重积分)求出底面面积，则体积和质量可相继求出．
解一 如图1．3．5．3所示建立坐标系，则油罐底面椭圆方程为
=1，图中影阴部分为油面与椭圆所围成的图形．
记S3为下半椭圆面积，则S3=πab／2．
记S2是位于x轴上方阴影部分的面积，则
S2=
.
令y=b sint，则dy=b cost dt．当y=0，b／2时，t=0，π／6．
S2=2ab∫0π/6
costdt=2ab∫0π/6cos2dtdt
=ab∫0π/6(1+cos2t)dt=ab
.
于是油的质量为
(S2+S3)lp=(πab／2+πab／6+√3ab／4)lp
=(2π／3+√3／4)ablp．
解二 设油的质量为M，则M=pV，其中V=S底·h高为油的体积，如图1．3．5．4所示．
S底=S椭圆一S1=πab—2
dxdy,
而
故 S底=πab+
所以 M=S底·h高·ρ=
ablp．
解一 如图1．3．5．3所示建立坐标系，则油罐底面椭圆方程为
=1，图中影阴部分为油面与椭圆所围成的图形．记S3为下半椭圆面积，则S3=πab／2．
记S2是位于x轴上方阴影部分的面积，则
S2=
.令y=b sint，则dy=b cost dt．当y=0，b／2时，t=0，π／6．
S2=2ab∫0π/6
costdt=2ab∫0π/6cos2dtdt=ab∫0π/6(1+cos2t)dt=ab
.于是油的质量为
(S2+S3)lp=(πab／2+πab／6+√3ab／4)lp
=(2π／3+√3／4)ablp．
解二 设油的质量为M，则M=pV，其中V=S底·h高为油的体积，如图1．3．5．4所示．
S底=S椭圆一S1=πab—2
dxdy,而
故 S底=πab+
所以 M=S底·h高·ρ=
ablp．【答案解析】