问答题
设a
0
，a
1
，…，a
n-1
为n个实数，方阵
问答题
若λ是A是一个特征值，证明：α=(1，λ，λ
2
，…，λ
n-1
)
T
是A的对应于λ的特征向量；
【正确答案】
【答案解析】[证] A的特征多项式
因λ是A的特征值，故
|λE-A|=λ n +a n-1 λ n-1 +…+a 1 λ+a 0 =0,
于是得到
λ n =-(a n-1 λ n-1 +…+a 1 λ+a 0 )，
而
因而，
α=(1，λ，λ 2 ，…，λ n-1 ) T
是A的对应于λ的特征向量，故
因λ是A的特征值，故
|λE-A|=λ n +a n-1 λ n-1 +…+a 1 λ+a 0 =0,
于是得到
λ n =-(a n-1 λ n-1 +…+a 1 λ+a 0 )，
而
因而，
α=(1，λ，λ 2 ，…，λ n-1 ) T
是A的对应于λ的特征向量，故
问答题
若A的特征值两两互异，则求一可逆矩阵P，使得P
-1
AP为对角矩阵．
【正确答案】
【答案解析】[解] 由于A的特征值λ
1
，λ
2
，…，λ
n
两两互异，故依次对应的特征向量：α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关，因为Aα=λ
i
α
i
(i=1，2，…，n)，令P=(α
1
，α
2
，…，αn)，则有
故有
故有