解答题
2.已知β可用α1，α2，…，αs线性表示，但不可用α1，α2，…，αs－1线性表示．证明
(1)αs不可用α1，α2，…，αs－1线性表示；
(2)αs可用α1，α2，…，αs－1，β线性表示．
(1)αs不可用α1，α2，…，αs－1线性表示；
(2)αs可用α1，α2，…，αs－1，β线性表示．
【正确答案】由于β可用α1，α2，…，αs线性表示，可设有表示式
β=k1α1+k2α2+…+kmαm， (Ⅰ)
(1)用反证法 如果αs可用α1，α2，…，αs－1线性表示；设αs=t1α1+t2α2+…+tm－1αm－1，代入(Ⅰ)式得β用α1，α2，…，αs－1的线性表示式：
β=(k1+t1)α1+(k2+t2)α2+…+(km－1+tm－1)dm－1，
与条件矛盾．
(2)(Ⅰ)中的km≠0(否则β可用α1，α2，…，αs－1线性表示)．于是有
β=k1α1+k2α2+…+kmαm， (Ⅰ)
(1)用反证法 如果αs可用α1，α2，…，αs－1线性表示；设αs=t1α1+t2α2+…+tm－1αm－1，代入(Ⅰ)式得β用α1，α2，…，αs－1的线性表示式：
β=(k1+t1)α1+(k2+t2)α2+…+(km－1+tm－1)dm－1，
与条件矛盾．
(2)(Ⅰ)中的km≠0(否则β可用α1，α2，…，αs－1线性表示)．于是有
【答案解析】