问答题
设A为m×n实矩阵，且r(A)=n．证明：A
T
A的特征值全大于零．
【正确答案】
【答案解析】
[证明] 首先A
T
A为实对称矩阵，r(A
T
A)=n，对任意的X＞0，X
T
(A
T
A)X=(AX)
T
(AX)，令AX=α，因为r(A)=n，所以α≠0，所以(AX)
T
(AX)=α
T
α=|α|
2
＞0，即二次型X
T
(A
T
A)X是正定二次型，A
T
A为正定矩阵，所以A
T
A的特征值全大于零．
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