解答题
[2006年] 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和为3，向量α1=[一1，2，一1]T，α2=[0，一1，1]T都是齐次方程组AX=0的解．
问答题
28.求A的特征值和特征向量；
【正确答案】由题设有A[1，1，1]T=[3，3，3]T=3[1，1，1]T，则λ0=3为A的特征值，α0=[1，1，1]T为A的属于λ0=3的特征向量，于是A的属于特征值3的所有特征向量为k0α0(k0为不等于零的任意常数)．又α1，α0为AX=0的非零解向量，由知，α1与α2是A的属于特征值λ=0的特征向量．因α1，α2线性无关，故A的属于特征值0的所有特征向量为k1α1+k2α2(k1，k2不全为零)．
【答案解析】
问答题
29.求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ．
【正确答案】因0为A的二重特征值，现将属于多重特征值的特征向量α1，α2正交化(因α1，α2不正交)，使用施密特正交化的方法得到
β1=α1，
则β1，β2正交．显然α0与β1，β2都正交，因它们是实对称矩阵不同特征值的特征向量．
下面将α0，β1，β2单位化，得到
β1=α1，
则β1，β2正交．显然α0与β1，β2都正交，因它们是实对称矩阵不同特征值的特征向量．
下面将α0，β1，β2单位化，得到
【答案解析】