解答题
19.[2013年] 设
【正确答案】设
则
由AC－CA=B得到四元非齐次线性方程组：
存在矩阵C使AC－CA=B成立，上述方程组必有解．为此将上述方程组的增广矩阵
用初等行变换化为阶梯形矩阵：
当a≠－1或b≠0时，因秩(
)≠秩(G)，方程组无解．
当a=－1且b=0时，秩(
)=秩(G)=2＜n=4，方程组有解，且有无穷多解．由基础解系和特解的简便求法得到，其基础解系为：
α1=[1，a，1，0]T=[1，－1，1，0]T，α2=[1，0，1，0]T
则对应齐次线性方程组的通解为c1α1+c2α2．
而方程组①的特解为[1，0，0，0]T，故方程组①的通解为
X=c1[1，－1，1，0]T+c2[1，0，0，1]T+[1，0，0，0]T
即X=[x1，x2，x3，x4]T=[c1+c2+1，－c1，c1，c2]T，亦即x1=c1+c2+1，x2=－c1，x3=c1，x4=c2(c1，c2为任意常数)，故所求的所有矩阵为
其中c1,c2任意常数．
则由AC－CA=B得到四元非齐次线性方程组：
存在矩阵C使AC－CA=B成立，上述方程组必有解．为此将上述方程组的增广矩阵
用初等行变换化为阶梯形矩阵：当a≠－1或b≠0时，因秩(
)≠秩(G)，方程组无解．当a=－1且b=0时，秩(
)=秩(G)=2＜n=4，方程组有解，且有无穷多解．由基础解系和特解的简便求法得到，其基础解系为：α1=[1，a，1，0]T=[1，－1，1，0]T，α2=[1，0，1，0]T
则对应齐次线性方程组的通解为c1α1+c2α2．
而方程组①的特解为[1，0，0，0]T，故方程组①的通解为
X=c1[1，－1，1，0]T+c2[1，0，0，1]T+[1，0，0，0]T
即X=[x1，x2，x3，x4]T=[c1+c2+1，－c1，c1，c2]T，亦即x1=c1+c2+1，x2=－c1，x3=c1，x4=c2(c1，c2为任意常数)，故所求的所有矩阵为
其中c1,c2任意常数．【答案解析】