问答题
求二元函数z=f(x，y)=x
2
y(4-x-y)在由直线x+y=6、x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值和最小值．
【正确答案】
【答案解析】(Ⅰ)先求区域D内部的极值．令
式①×x得
2x 2 y(4-x-y)-x 3 y=0， ③
式②×2y得
2x 2 y(4-x-y)-2x 2 y 2 =0， ④
由式③和式④得
x 3 y=2x 2 y 2 ， 即x=2y． ⑤
将式⑤代入式①得x=2，因而y=1，即得D内的唯一驻点(2，1)，下面判定在该点是否取极值．
f" xx =8y-6xy-2y 2 ，f" xy =8x-3x 2 -4xy，f" yy =-2x 2 ，
于是A=f" xx (2，1)=-6，B=f" xy (2，1)=-4，C=f" yy (2，1)=-8．B 2 -AC=-32＜0
且A＜0，由极值定理知，点(2，1)是f(x，y)的极大值点，极大值为f(2，1)=4．
(Ⅱ)下面求f(x，y)在D的边界上的可能极值点，即求条件极值：
式①×x得
2x 2 y(4-x-y)-x 3 y=0， ③
式②×2y得
2x 2 y(4-x-y)-2x 2 y 2 =0， ④
由式③和式④得
x 3 y=2x 2 y 2 ， 即x=2y． ⑤
将式⑤代入式①得x=2，因而y=1，即得D内的唯一驻点(2，1)，下面判定在该点是否取极值．
f" xx =8y-6xy-2y 2 ，f" xy =8x-3x 2 -4xy，f" yy =-2x 2 ，
于是A=f" xx (2，1)=-6，B=f" xy (2，1)=-4，C=f" yy (2，1)=-8．B 2 -AC=-32＜0
且A＜0，由极值定理知，点(2，1)是f(x，y)的极大值点，极大值为f(2，1)=4．
(Ⅱ)下面求f(x，y)在D的边界上的可能极值点，即求条件极值：