设向量组α
1
，α
2
，α
3
线性无关，已知β
1
＝(k－1)α
1
＋α
2
＋α
3
，β
2
＝α
1
＋(k＋1)α
2
＋α
3
，β
3
＝－α
1
－(1＋k)α
2
＋(1－k)α
3
．试求向量组β
1
，β
2
，β
3
的秩r(β
1
，β
2
，β
3
)．
【正确答案】正确答案：设有一组数λ
1
，λ
2
，λ
3
，使得λ
1
β
1
＋λ
2
β
2
＋λ
3
β
3
＝0，即 λ
1
[(k－1)α
1
＋α
2
＋α
3
]＋λ
2
[α
1
＋(k＋1)α
2
＋α
3
]＋λ
3
[－α
1
－(1＋k)α
2
＋(1－k)α
3
]＝0， 经整理得 [(k－1)λ
1
＋λ
2
－λ
3
]α
1
＋[λ
1
＋(k＋1)λ
2
－(1＋k)λ
3
]α
2
＋[λ
1
＋λ
2
＋(1－k)λ
3
]α
3
＝0． 由于α
1
，α
2
，α
3
线性无关，则有线性方程组
其系数行列式
＝(2－k)(k
2
－2)． 当k≠2且后≠±
时，β
1
，β
2
，β
3
线性无关，r(β
1
，β
2
，β
3
)＝3． 当k＝2时，则有
容易判定，向量组β
1
，β
2
，β
3
线性相关，β
1
，β
2
线性无关．由此可知，r(β
1
，β
2
，β
3
)＝2． 当k＝
时，则有
同样，可以判定向量组β
1
，β
2
，β
3
线性相关，β
2
，β
3
线性无关．从而，r(β
1
，β
2
，β
3
)＝2． 同理可得，当k＝－
时，r(β
1
，β
2
，β
3
)＝2． 所以，当k≠2且k≠±
时，r(β
1
，β
2
，β
3
)＝3；当k＝2或k＝±
其系数行列式
＝(2－k)(k
2
－2)． 当k≠2且后≠±
时，β
1
，β
2
，β
3
线性无关，r(β
1
，β
2
，β
3
)＝3． 当k＝2时，则有
容易判定，向量组β
1
，β
2
，β
3
线性相关，β
1
，β
2
线性无关．由此可知，r(β
1
，β
2
，β
3
)＝2． 当k＝
时，则有
同样，可以判定向量组β
1
，β
2
，β
3
线性相关，β
2
，β
3
线性无关．从而，r(β
1
，β
2
，β
3
)＝2． 同理可得，当k＝－
时，r(β
1
，β
2
，β
3
)＝2． 所以，当k≠2且k≠±
时，r(β
1
，β
2
，β
3
)＝3；当k＝2或k＝±
【答案解析】