设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=一1，已知曲线积分
∫
L
[xe
2x
-6f(x)]sin ydx一[5f(x)-f"(x)]cos ydy
与积分路径无关，求f(x)．
【正确答案】正确答案：设P=[xe
2x
-6f(x)]sin y，Q=一[5f(x)-f’(x)]cos y 由题意
即 [xe
2x
一6f(x)]cosy=一[5f’(x)-f”(x)]cos y， 整理得f”(x)一5f’(x)+6f(x)=xe
2x
，其对应的齐次方程的通解为Y=C
1
e
2x
+C
2
e
3x
． 由于2是特征根，设特解形式为y*=x(Ax+B)e
2x
． 代入原方程得
．于是原方程通解为
由f(0)=0，f’(0)=-1，得C
1
=C
2
=0，
即 [xe
2x
一6f(x)]cosy=一[5f’(x)-f”(x)]cos y， 整理得f”(x)一5f’(x)+6f(x)=xe
2x
，其对应的齐次方程的通解为Y=C
1
e
2x
+C
2
e
3x
． 由于2是特征根，设特解形式为y*=x(Ax+B)e
2x
． 代入原方程得
．于是原方程通解为
由f(0)=0，f’(0)=-1，得C
1
=C
2
=0，
【答案解析】