【正确答案】正确答案：假设η ^* ，ξ ₁ ，…，ξ _n－r 线性相关，则存在不全为零的数c ₀ ，c ₁ ，…，c _n－r 使得 c ₀ η ^* +c ₁ ξ ₁ +…+c _n－r ξ _n－r =0， (1) 用矩阵A左乘上式两边，得 0=A(c ₀ η ^* +c ₁ ξ ₁ +…+c _n－r ξ _n－r )=c ₀ Aη ^* +c ₁ Aξ ₁ +…+c _n Aξ _n－r =c ₀ b， 其中b≠0，则c ₀ =0，于是(1)式变为 c ₁ ξ ₁ +…+c _n－r ξ _n－r =0， ξ ₁ ，…，ξ _n－r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ ₁ ，…，ξ _n－r 线性无关，因此c ₁ =c ₂ =…=c _n－r =0，与假设矛盾。 所以η ^* ，ξ ₁ ，…，ξ _n－r 线性无关。

【正确答案】正确答案：假设η ^* ，η ^* +ξ ₁ ，…，η ^* +ξ _n－r 线性相关，则存在不全为零的数c ₀ ，c ₁ ，…，c _n－r 使 c ₀ η ^* +c ₁ (η ^* +ξ ₁ )+…+c _n－r (η ^* +ξ _n－r )=0， 且(c ₀ +c ₁ +…+c _n－r )η ^* +c ₁ ξ ₁ +…+c _n－r ξ _n－r =0。 (2) 用矩阵A左乘上式两边，得 0=A[(c ₀ +c ₁ +…+c _n－r )η ^* +c ₁ ξ ₁ +…+c _n－r ξ _n－r ] =(c ₀ +c ₁ …+c _n－r )Aη ^* +c ₁ Aξ ₁ +…+c _n－r Aξ _n－r =(c ₀ +c ₁ …+c _n－r )b， 因为b≠0，故c ₀ +c ₁ +…+c _n－r =0，代入(2)式，有 c ₁ ξ ₁ +…+c _n－r ξ _n－r =0， ξ ₁ ，…，ξ _n－r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ ₁ ，…，ξ _n－r 线性无关，因此c ₁ =c ₂ =…=c _n－r =0，则c ₀ =0。与假设矛盾。 综上，向量组η ^* ，η ^* +ξ ₁ ，…，η ^* +ξ _n－r 线性无关。