问答题
设z=z(x，y)是由9x
2
-54xy+90y
2
-6yz-z
2
+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值。
【正确答案】正确答案：利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得 18xdx-54(ydx+xdy)+180ydy-6zdy-6ydz-2zdz=0，即(18x+54y)dx+(180y-54x-6z)dy-(6y+2z)dz=0。 从而
为求隐函数z=z(x，y)的驻点，应解方程组
②可化简得x=3y，由③可得z=30y-9x=3y，代入①可解得两个驻点x=3，y=1，z=3与x=-3，y=-1，z=-3。 为判定z=z(x，y)在两个驻点处是否取得极值，还需求z=z(x，y)在这两点的二阶偏导数：
记P=(3，1，3)，Q=(-3，-1，-3)，即可得出在P点处
， 故
，故在点(3，1)处z=z(x，y)取得极小值z(3，1)=3。 类似可知在Q点处
为求隐函数z=z(x，y)的驻点，应解方程组
②可化简得x=3y，由③可得z=30y-9x=3y，代入①可解得两个驻点x=3，y=1，z=3与x=-3，y=-1，z=-3。 为判定z=z(x，y)在两个驻点处是否取得极值，还需求z=z(x，y)在这两点的二阶偏导数：
记P=(3，1，3)，Q=(-3，-1，-3)，即可得出在P点处
， 故
，故在点(3，1)处z=z(x，y)取得极小值z(3，1)=3。 类似可知在Q点处
【答案解析】