问答题
设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足
【正确答案】
【答案解析】【证】由积分中值定理，得
令F(x)=e
1-x2
f(x)，则F(x)在[ξ
1
，1]上连续，在(ξ
1
，1)内可导，且
由罗尔定理，在(ξ 1 ，1)内至少有一点ξ，使得
F"(ξ)=e 1-ξ2 [f"(ξ)-2ξf(ξ)]=0，
于是f"(ξ)=2ξf(ξ)，ξ∈(ξ 1 ，1)
令F(x)=e
1-x2
f(x)，则F(x)在[ξ
1
，1]上连续，在(ξ
1
，1)内可导，且
由罗尔定理，在(ξ 1 ，1)内至少有一点ξ，使得
F"(ξ)=e 1-ξ2 [f"(ξ)-2ξf(ξ)]=0，
于是f"(ξ)=2ξf(ξ)，ξ∈(ξ 1 ，1)