解答题
20.[20l0年] 设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1／3．证明：存在ξ∈(0，1／2),η∈(1／2，1)，使得f′(ξ)+f′(η)=ξ2+η2．
【正确答案】 将待证等式改写为f′(ξ)一ξ2=η2一f′(η)，从而想到构造辅助函数F(x)=f(x)一x3／3，分别在区间[0，1／2]，[1／2，1]上使用拉格朗日中值定理．
证 令F(x)=f(x)一x3／3，则F(0)=F(1)=0．对F(x)在[0，l／2]上使用拉格朗日中值定理得到：存在ξ∈(0，1／2)，使
=F′(ξ)=f′(ξ)一ξ2． ①
又在[1／2，1]上对F(x)用拉格朗日中值定理得到：存在η∈(1／2，1)，使
=F′(η)一f′(η)一η2， ②
由式①+式②得到
=f(ξ)一ξ2+f′(η)一η2，即
证 令F(x)=f(x)一x3／3，则F(0)=F(1)=0．对F(x)在[0，l／2]上使用拉格朗日中值定理得到：存在ξ∈(0，1／2)，使
=F′(ξ)=f′(ξ)一ξ2． ①又在[1／2，1]上对F(x)用拉格朗日中值定理得到：存在η∈(1／2，1)，使
=F′(η)一f′(η)一η2， ②由式①+式②得到
=f(ξ)一ξ2+f′(η)一η2，即【答案解析】