问答题
设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A
k
x=0有解向量α，且A
k-1
α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A
k-1
α是线性无关的．
【正确答案】
【答案解析】[解] 反证法，假设α，Aα，…，A
k-1
α是线性相关的，即存在不全为0的实数b
0
，b
1
…b
k-1
，使得b
0
α+b
1
Aα+…+b
k-1
A
k-1
α=0．两边乘以A
k-1
，又因为A
k-1
α≠0，A
k
α=0，所以b
0
A
k-1
α=0，b
0
=0．
由b 1 Aα+…+b k-1 A k-1 α=0．两边乘以A k-2 得
最后可得
由b 1 Aα+…+b k-1 A k-1 α=0．两边乘以A k-2 得
最后可得