问答题
问答题
设
【正确答案】
【答案解析】[证] (A
T
A
T
)=A
T
(A
T
)
T
=A
T
A，则A
T
A是实对称矩阵．
当s＞n时，A的列向量组线性相关(向量个数s＞向量的维数n)，故Ax=0有非零解，即存在x≠0，使得Ax=0，从而使x T A T Ax=0，故当s＞n时，A T A不是正定矩阵，
当s=n时，范德蒙德行列式|A|≠0，A是可逆矩阵，根据矩阵正定的充分必要条件，A T A是正定矩阵．
当s＜n时，A的列向量组线性无关(当s=n时，A的列向量组线性无关，减少向量个数仍线性无关)，Ax=0只有零解，即任给x≠0，均有Ax≠0，从而有(Ax) T Ax=x T A T Ax＞0，从而A T A是正定矩阵．
故当s≤n时，A T A是正定矩阵．
当s＞n时，A的列向量组线性相关(向量个数s＞向量的维数n)，故Ax=0有非零解，即存在x≠0，使得Ax=0，从而使x T A T Ax=0，故当s＞n时，A T A不是正定矩阵，
当s=n时，范德蒙德行列式|A|≠0，A是可逆矩阵，根据矩阵正定的充分必要条件，A T A是正定矩阵．
当s＜n时，A的列向量组线性无关(当s=n时，A的列向量组线性无关，减少向量个数仍线性无关)，Ax=0只有零解，即任给x≠0，均有Ax≠0，从而有(Ax) T Ax=x T A T Ax＞0，从而A T A是正定矩阵．
故当s≤n时，A T A是正定矩阵．
问答题
【正确答案】
【答案解析】[证] 因(B
T
B)
T
=B
T
(B
T
)
T
=B
T
B，则B
T
B是实对称矩阵．又|B|=10!|A|＞0(其中A是第一小题中s=10，n=10的矩阵)，故B
T
B是正定矩阵．