问答题
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且
，其中k＞1。证明：存在ξ∈(0，1)使
，其中k＞1。证明：存在ξ∈(0，1)使
【正确答案】
【答案解析】令
，则g(0)=0，
，由拉格朗日中值定理可知，存在
，使得
故kf(1)=kηe 1-η f(η)，即f(1)=ηe 1-η f(η)。
再令φ(x)=xe 1-x f(x)，则φ(0)=0，φ(1)=f1)，所以φ(1)=f(1)=φ(η)，由罗尔定理可知，存在
，使得φ"(ξ)=0，即
所以
，则g(0)=0，
，由拉格朗日中值定理可知，存在
，使得
故kf(1)=kηe 1-η f(η)，即f(1)=ηe 1-η f(η)。
再令φ(x)=xe 1-x f(x)，则φ(0)=0，φ(1)=f1)，所以φ(1)=f(1)=φ(η)，由罗尔定理可知，存在
，使得φ"(ξ)=0，即
所以