问答题
(本题满分11分)
设A为3阶矩阵，α 1 ，α 2 ，α 3 是线性无关的3维列向量，且满足Aα 1 =α 1 +α 2 +α 3 ，Aα 2 =2α 2 +α 3 ，Aα 3 =2α 2 +3α 3 ．
(Ⅰ)求矩阵A的特征值；
(Ⅱ)问A能否相似对角化；若能，请求出相似变换矩阵P与对角的A；若不能，请说明理由．
设A为3阶矩阵，α 1 ，α 2 ，α 3 是线性无关的3维列向量，且满足Aα 1 =α 1 +α 2 +α 3 ，Aα 2 =2α 2 +α 3 ，Aα 3 =2α 2 +3α 3 ．
(Ⅰ)求矩阵A的特征值；
(Ⅱ)问A能否相似对角化；若能，请求出相似变换矩阵P与对角的A；若不能，请说明理由．
【正确答案】
【答案解析】(Ⅰ)将题设三个向量等式条件合并成一个矩阵等式，得
(Aα 1 ，Aα 2 ，Aα 3 )=(α 1 +α 2 +α 3 ，2α 2 +α 3 ，2α 2 +3α 3 )，
即有
因α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，故矩阵C=(α 1 ，α 2 ，α 3 )可逆，于是有
即矩阵A与B相似，从而A与B有相同的特征值．由
得矩阵B的特征值为1，1，4，故矩阵A的特征值为1，1，4．
(Ⅱ)对于矩阵B，求方程组(E-B)x=0的基础解系，可得B的属于特征值λ=1的两个线性无关的特征向量η 1 =(-1，1，0) T ，η 2 =(-2，0，1) T ．
求方程组(4E-B)x=0的基础解系，可得B的属于特征值λ=4的特征向量η 3 =(0，1，1) T ．
令P 1 =(η 1 ，η 2 ，η 3 )，则有
，从而有
故矩阵A可相似对角化，且相似变换矩阵为
(Aα 1 ，Aα 2 ，Aα 3 )=(α 1 +α 2 +α 3 ，2α 2 +α 3 ，2α 2 +3α 3 )，
即有
因α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，故矩阵C=(α 1 ，α 2 ，α 3 )可逆，于是有
即矩阵A与B相似，从而A与B有相同的特征值．由
得矩阵B的特征值为1，1，4，故矩阵A的特征值为1，1，4．
(Ⅱ)对于矩阵B，求方程组(E-B)x=0的基础解系，可得B的属于特征值λ=1的两个线性无关的特征向量η 1 =(-1，1，0) T ，η 2 =(-2，0，1) T ．
求方程组(4E-B)x=0的基础解系，可得B的属于特征值λ=4的特征向量η 3 =(0，1，1) T ．
令P 1 =(η 1 ，η 2 ，η 3 )，则有
，从而有
故矩阵A可相似对角化，且相似变换矩阵为