设向量α＝(a
1
，a
2
，…，a
n
)
T
，其中a
1
≠0，A＝αα
T
．
(1)求方程组AX＝0的通解；
(2)求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量．
【正确答案】正确答案：因为r(A)＝1，所以AX＝0的基础解系含有n－1个线性无关的特征向量，其基础解系为 α
1
＝(－
，1，0，…，0)
T
，α
2
＝(－
，0，1，…，0)
T
，…，α
n-1
＝(－
，0，0，…，1)
T
， 则方程组AX＝0的通解为k
1
α
2
＋k
2
α
2
＋…＋k
n-1
α
n-1
(k
1
，k
2
，…，k
n-1
为任意常数)． (2)因为A
2
＝kA，其中k＝(α，α)＝
，1，0，…，0)
T
，α
2
＝(－
，0，1，…，0)
T
，…，α
n-1
＝(－
，0，0，…，1)
T
， 则方程组AX＝0的通解为k
1
α
2
＋k
2
α
2
＋…＋k
n-1
α
n-1
(k
1
，k
2
，…，k
n-1
为任意常数)． (2)因为A
2
＝kA，其中k＝(α，α)＝
【答案解析】