解答题 18.[2003年] 设随机变量X的概率密度为
【正确答案】解一 F(x)为X的分布函数,而X的函数又为Y=F(X).由命题3.2.5.1知Y服从[0,1]上的均匀分布,而与随机变量X服从什么分布无关.因而

解二 先求X的分布函数,再计算Y=FY(X)的分布函数.因f(x)为分段函数,应按x<1,1≤x<8,x≥8三种情况分别求出FX(x).
当x<1时,
当1≤x<8时,
当x≥8时,

综上所述,

则Y=F(X)的分布函数为 FY(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y).
注意到0≤F(x)≤1,其中x∈(-∞,+∞),得到
当y≤0时,FY(y)=0;当y>1时,FY(y)=1.
当0<y≤1时,



因而Y=F(X)的分布函数为
【答案解析】