问答题
设函数f(x)在x=0的某个邻域内具有二阶连续导数，且f(0)≠0，f"(0)≠0，f"(0)≠0．
证明：存在唯一的一组实数λ 1 ，λ 2 ，λ 3 ，使得当h→0时，λ 1 f(h)+λ 2 f(2h)+λ 3 f(3h)-f(0)是比h 2 高阶的无
证明：存在唯一的一组实数λ 1 ，λ 2 ，λ 3 ，使得当h→0时，λ 1 f(h)+λ 2 f(2h)+λ 3 f(3h)-f(0)是比h 2 高阶的无
【正确答案】
【答案解析】证法1 因为当h→0时，λ
1
f(h)+λ
2
f(2h)+λ
3
f(3h)-f(0)是比h
2
高阶的无穷小，故其本身也是无穷小，即
而f(0)≠0，所以得λ 1 +λ 2 +λ 3 -1=0．
又
因为f"(0)≠0，故得
λ 1 +4λ 2 +9λ 3 =0，
其中还包含
因为f"(0)≠0，得λ 1 +2λ 2 +3λ 3 =0．
总之，得λ 1 ，λ 2 ，λ 2 的线性方程组
因其系数行列式
故由克拉默法则知，存在唯一的一组实数λ 1 ，λ 2 ，λ 2 ，使得当h→0时，λ 1 f(h)+λ 2 f(2h)+λ 3 f(3h)-f(0)是比h 2 高阶的无穷小．
证法2 利用泰勒公式．
故
而f(0)≠0，所以得λ 1 +λ 2 +λ 3 -1=0．
又
因为f"(0)≠0，故得
λ 1 +4λ 2 +9λ 3 =0，
其中还包含
因为f"(0)≠0，得λ 1 +2λ 2 +3λ 3 =0．
总之，得λ 1 ，λ 2 ，λ 2 的线性方程组
因其系数行列式
故由克拉默法则知，存在唯一的一组实数λ 1 ，λ 2 ，λ 2 ，使得当h→0时，λ 1 f(h)+λ 2 f(2h)+λ 3 f(3h)-f(0)是比h 2 高阶的无穷小．
证法2 利用泰勒公式．
故