解答题
19.在空间直角坐标系的原点处，有一质量为M1的恒星，另有一质量为M2的恒星在椭圆
【正确答案】当恒星M2在点(x，y，z)处时，两恒星之间的万有引力大小为f(x，y，z)＝
。
求f(x，y，z)在椭圆方程条件下的最大值和最小值，可以转化为g(x，y，z)＝x2＋y2＋z2在椭圆条件下的最小值和最大值。构造拉格朗日函数为
L(x，y，z，λ)＝x2＋y2＋z2＋λ(z－x2－y2)＋μ(x＋y＋z－1)，
对x，y，z，λ，μ分别求偏导数，并令其等于0有
由前面两个方程相减得2(1－λ)(x－y)＝0，则λ＝1或x＝y。当λ＝1时，μ＝0，代入第三个方程得z＝
﹤0，不满足z＝x2＋y2﹥0。当x＝y，时，代入后两个方程得
，
记
，
解得
。
在几何上看，g(x，y，z)在题目条件下的最大值和最小值均存在的，所以g(x，y，z)在点R1达到最小，在点R2达到最大，因而f(x，y，z)在点R1取到最大值f(R1)＝
，在点R2取到最小值f(R2)＝
。求f(x，y，z)在椭圆方程条件下的最大值和最小值，可以转化为g(x，y，z)＝x2＋y2＋z2在椭圆条件下的最小值和最大值。构造拉格朗日函数为
L(x，y，z，λ)＝x2＋y2＋z2＋λ(z－x2－y2)＋μ(x＋y＋z－1)，
对x，y，z，λ，μ分别求偏导数，并令其等于0有
由前面两个方程相减得2(1－λ)(x－y)＝0，则λ＝1或x＝y。当λ＝1时，μ＝0，代入第三个方程得z＝
﹤0，不满足z＝x2＋y2﹥0。当x＝y，时，代入后两个方程得，记
，解得
。在几何上看，g(x，y，z)在题目条件下的最大值和最小值均存在的，所以g(x，y，z)在点R1达到最小，在点R2达到最大，因而f(x，y，z)在点R1取到最大值f(R1)＝
，在点R2取到最小值f(R2)＝【答案解析】