【正确答案】 C

【答案解析】A、B 项错误，根据《劳动合同法》第八十二条第一款规定：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”根据《劳动合同法实施条例》第七条规定：“用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日应当依照劳动合同法第八十二条的规定向劳动者每月支付两倍的工资，并视为自用工之日起满一年的当日已经与劳动者订立无固定期限劳动合同，应当立即与劳动者补订书面劳动合同。”
C 项正确，《劳动合同法》第十四条第三款规定：“用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。”本案中，张某于 2018 年 6 月 1 日与该公司建立劳动关系（用工之日），超过一年该公司未与张某签订劳动合同，自 2019 年 6 月 1 日起视为与张某已订立无固定期限劳动合同。
D 项错误，根据《劳动合同法》第七条规定：“用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。用人单位应当建立职工名册备查。”本案中，张某自用工之日（2018 年 6 月 1 日）起就与该公司建立劳动关系，而不是申请劳动争议仲裁之日。
故正确答案为 C。