求解欧拉方程x
3
y""+x
2
y”一4xy’=3x
2
．
【正确答案】正确答案：令x=e
t
，原方程化为y""一2y”一3y’=3e
2t
． 特征方程为r
3
一2r
2
一3r=0，故特征根为r
1
=0，r
2
=一1，r
3
=3，于是齐次方程的通解为y=C
1
+C
2
e
-1
+C
3
e
3t
． 由于λ=2不是特征方程的根，设特解的形式为y*=Ae
2t
，代入方程 y""一2y”一3y’=3e
2t
， 得
将t=lnx代入通解y=C
1
+C
2
e
-t
+C
3
e
3t
一
中，得原方程的通解为
将t=lnx代入通解y=C
1
+C
2
e
-t
+C
3
e
3t
一
中，得原方程的通解为
【答案解析】