问答题
设f(x)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0．
(1)写出f(x的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
(2)证明：在[－a，a]上存在η，使a
3
f''(η)=3∫
－a
a
f(x)dx．
【正确答案】正确答案：(1)对任意x∈[－a，a]，有
(2)∫
－a
a
f(x)dx=∫
－a
a
f'(0)xdx+
∫
－a
a
f''(ξ)x
2
dx=
∫
－a
a
f''(ξ)xdx． 因为f''(x)在[－a，a]上连续，由最值定理：m≤f''(x)≤M，x∈[－a，a]． mx
2
≤f''(ξ)x
2
≤Mx
2
，
ma
3
=m∫
－a
a
x
2
dx≤∫
－a
a
f''(ξ)x
2
dx≤M∫
－a
a
x
2
dx=
Ma
3
，
介值定理，存在η∈[－a，a]，使得
(2)∫
－a
a
f(x)dx=∫
－a
a
f'(0)xdx+
∫
－a
a
f''(ξ)x
2
dx=
∫
－a
a
f''(ξ)xdx． 因为f''(x)在[－a，a]上连续，由最值定理：m≤f''(x)≤M，x∈[－a，a]． mx
2
≤f''(ξ)x
2
≤Mx
2
，
ma
3
=m∫
－a
a
x
2
dx≤∫
－a
a
f''(ξ)x
2
dx≤M∫
－a
a
x
2
dx=
Ma
3
，
介值定理，存在η∈[－a，a]，使得
【答案解析】