解答题
求二元函数z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭域D上的最大值与最小值．
【正确答案】
【答案解析】先求函数在D内的驻点(见图)，解方程组
得x=0，(0≤y≤6)，及点(4，0)，(2，1)；在D内只有唯一驻点(2，1)，在该点处f(2，1)=4．
(2)再求f(x，y)在D的边界上的最值．
在边界x=0(0≤y≤6)和y=0(0≤x≤6)上f(x，y)=0．
在边界x+y=6上，y=6-x，代入f(x，y)中，得
f(x，y)=x2(6-x)(-2)=2x2(x-6)，
f'x=4x(x-6)+2x2=6x2-24x=0
得x=0，(0≤y≤6)，及点(4，0)，(2，1)；在D内只有唯一驻点(2，1)，在该点处f(2，1)=4．
(2)再求f(x，y)在D的边界上的最值．
在边界x=0(0≤y≤6)和y=0(0≤x≤6)上f(x，y)=0．
在边界x+y=6上，y=6-x，代入f(x，y)中，得
f(x，y)=x2(6-x)(-2)=2x2(x-6)，
f'x=4x(x-6)+2x2=6x2-24x=0