单选题
设λ
1
，λ
2
是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α
1
，α
2
，则α
1
，A(α
1
+α
2
)线性无关的充分必要条件是
【正确答案】
B
【答案解析】[解析] 设k
1
α
1
+k
2
A(α
1
+α
2
)=0，则有
(k 1 +λ 1 k 2 )α 1 +λ 2 k 2 α 2 =0．
由于α 1 与α 2 是对应于A的两个不同特征值的特征向量，所以它们线性无关，即必有
于是α 1 与A(α 1 +α 2 )线性无关的充分必要条件是上述关于k 1 ，k 2 的齐次线性方程组只有零解，这等价于其系数行列式
(k 1 +λ 1 k 2 )α 1 +λ 2 k 2 α 2 =0．
由于α 1 与α 2 是对应于A的两个不同特征值的特征向量，所以它们线性无关，即必有
于是α 1 与A(α 1 +α 2 )线性无关的充分必要条件是上述关于k 1 ，k 2 的齐次线性方程组只有零解，这等价于其系数行列式