填空题
设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0，f'(0)=1，已知曲线积分
【正确答案】
【答案解析】 由曲线积分与路径无关的充要条件可以得到f(x)所满足的微分方程，再根据所给的初始条件求出f(x)．
解：曲线积分与路径无关
，故有
即[f"(x)-5f'(x)]cosy=[xe2x-6f(x)]cosy，消去cosy，整理得f"-5f'+6f=xe2x，对应齐次方程的特征方程为r2-5r+6=(r-2)(r-3)=0，对应齐次方程的通解为Y=C1e2x+C2e3x，由于λ=2是特征根，故设
，代入方程可求出
，于是方程的通解为
，再由f(0)=0及f'(0)=-1，可求出C1=C2=0，
因而所求函数为
．
故应填
解：曲线积分与路径无关
，故有即[f"(x)-5f'(x)]cosy=[xe2x-6f(x)]cosy，消去cosy，整理得f"-5f'+6f=xe2x，对应齐次方程的特征方程为r2-5r+6=(r-2)(r-3)=0，对应齐次方程的通解为Y=C1e2x+C2e3x，由于λ=2是特征根，故设
，代入方程可求出，于是方程的通解为，再由f(0)=0及f'(0)=-1，可求出C1=C2=0，因而所求函数为
．故应填