解答题
8.设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得 f(b)－2f(
)＋f(a)＝
)＋f(a)＝
【正确答案】因为f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有f(a)＝f(
)＋f’(
)(a－
)＋
(a－
)2，
f(b)＝f(
)＋f’(
)(b－
)＋
(b－
)2，
其中ξ1∈(a，
)，ξ2∈(
，b)．
两式相加得f(a)＋f(b)－2f(
)＝
[f”(ξ1)＋f”(ξ2)]．
因为f”(x)在(a，b)内连续，所以f”(x)在[ξ1，ξ2]上连续，从而f”(x)在[ξ1，ξ2]上取到
最小值m和最大值M，故m≤
≤M，
由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]
(a，b)，使得
＝f”(ξ)，
故f(a)＋f(b)－2f(
)＝
[f”(ξ1)＋f”(ξ1)]＝
)＋f’()(a－)＋(a－)2，f(b)＝f(
)＋f’()(b－)＋(b－)2，其中ξ1∈(a，
)，ξ2∈(，b)．两式相加得f(a)＋f(b)－2f(
)＝[f”(ξ1)＋f”(ξ2)]．因为f”(x)在(a，b)内连续，所以f”(x)在[ξ1，ξ2]上连续，从而f”(x)在[ξ1，ξ2]上取到
最小值m和最大值M，故m≤
≤M，由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]
(a，b)，使得＝f”(ξ)，故f(a)＋f(b)－2f(
)＝[f”(ξ1)＋f”(ξ1)]＝【答案解析】