问答题
设x∈(0，1)，证明下面不等式：
(1)(1+x)in
2
(1+x)＜x
2
；
(2)
【正确答案】正确答案：(1)令φ(x)=x
2
－(1+x)ln
2
(1+x)，有φ(0)=0，且 φ'(x)=2x－ln
2
(1+x)－21n(1+x)，φ'(0)=0． 当x∈(0，1)时，
知φ'(x)单调递增，从而φ'(x)＞φ'(0)=0，则φ(x)单调递增，则 φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln
2
(1+x)＜x
2
． (2)令
由(1)得，当x∈(0，1)时f'(x)＜0，知f(x)单调递减，从而f(x)＞f(1)=
又因为
又f(x)单调递减，则f(x)＜f(0
+
)=
， 所以
知φ'(x)单调递增，从而φ'(x)＞φ'(0)=0，则φ(x)单调递增，则 φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln
2
(1+x)＜x
2
． (2)令
由(1)得，当x∈(0，1)时f'(x)＜0，知f(x)单调递减，从而f(x)＞f(1)=
又因为
又f(x)单调递减，则f(x)＜f(0
+
)=
， 所以
【答案解析】