问答题
设A为3阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是线性无关的3维列向量组，满足
Aα
1
=α
1
+α
2
+α
3
，Aα
2
=2α
2
+α
3
，Aα
3
=2α
2
+3α
3
.
求作矩阵B，使得A(α
1
，α
2
，α
3
)=(α
1
，α
2
，α
3
)B．
【正确答案】正确答案：方法一 用矩阵分解 A(α
1
，α
2
，α
3
)=(Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
)=(α
1
+α
2
+α
3
，2α
1
+α
3
，2α
1
+3α
3
) =(α
1
，α
2
，α
3
)
得
方法二 由于α
1
，α
2
，α
3
，线性无关，矩阵P=(α
1
，α
2
，α
3
)可逆，并且 E=P
-1
(α
1
，α
2
，α
3
)=(P
-1
α
1
，P
-1
α
2
，P
-1
α
3
)， 则P
-1
α
1
=(1，0，0)
T
，P
-1
α
2
=(0，1，0)
T
，P
-1
α
3
=(0，0，1)
T
，于是 B=P
-1
AP=P
-1
A(α
1
，α
2
，α
3
)=P
-1
(α
1
+α
2
+α
3
，2α
2
+α
3
，2α
2
+3α
3
) =
得
方法二 由于α
1
，α
2
，α
3
，线性无关，矩阵P=(α
1
，α
2
，α
3
)可逆，并且 E=P
-1
(α
1
，α
2
，α
3
)=(P
-1
α
1
，P
-1
α
2
，P
-1
α
3
)， 则P
-1
α
1
=(1，0，0)
T
，P
-1
α
2
=(0，1，0)
T
，P
-1
α
3
=(0，0，1)
T
，于是 B=P
-1
AP=P
-1
A(α
1
，α
2
，α
3
)=P
-1
(α
1
+α
2
+α
3
，2α
2
+α
3
，2α
2
+3α
3
) =
【答案解析】