解答题
设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y'(x)＞0，y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线．上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1-S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．
【正确答案】
【答案解析】[解] 曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为
Y-y=y'(X-x)．
它与x轴的交点为
由于y'(x)＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0，于是
又
由条件2S1-S2=1知
两边对x求导并化简得yy"=(y')2．令p=y'，则上述方程可化为
从而
解得p=C1y，即
Y-y=y'(X-x)．
它与x轴的交点为
由于y'(x)＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0，于是又
由条件2S1-S2=1知两边对x求导并化简得yy"=(y')2．令p=y'，则上述方程可化为
从而
解得p=C1y，即