问答题
设二次型
问答题
若二次型的标准形为
【正确答案】
【答案解析】[解析] 由已知条件，二次型矩阵为
，其特征值为λ
1
=1，λ
2
=2，λ
3
=5．特征多项式为
将λ=1(或λ=5)代入上式，得a 2 -4=0
a=±2．
因a＞0，故a=2，此时
，其特征值为λ
1
=1，λ
2
=2，λ
3
=5．特征多项式为
将λ=1(或λ=5)代入上式，得a 2 -4=0
a=±2．
因a＞0，故a=2，此时
问答题
求将二次型化为标准形
【正确答案】
【答案解析】[解析] 当λ
1
=1时，解方程(λ
1
E-A)x=0，得ξ
1
=(0，1，-1)
T
，
对应λ 2 =2，解方程(λ 2 E-A)x=0，得ξ 2 =(1，0，0) T .
对应λ 3 =5，解方程(λ 3 E-A)x=0，得ξ 3 =(0，1，1) T .
将ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 单位化，得
故正交变换矩阵为
对应λ 2 =2，解方程(λ 2 E-A)x=0，得ξ 2 =(1，0，0) T .
对应λ 3 =5，解方程(λ 3 E-A)x=0，得ξ 3 =(0，1，1) T .
将ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 单位化，得
故正交变换矩阵为