问答题
设f(x)在[a，b]上连续，任取x
i
∈[a，b](i=1，2，…，n)，任取k
i
＞0(i=1，2，…，n)，证明：存在ξ∈[a，b]，使得k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+…+k
n
f(x
n
)=(k
1
+k
2
+…+k
n
)f(ξ)．
【正确答案】
【答案解析】[证明] 因为f(x)在[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M，显然有m≤f(x
i
)≤M(i=1，2，…，n)，
注意到k i ＞0(i=1，2，…，n)，所以有k i m≤k i f(x i )≤k i M(i=1，2，…，n)，同向不等式相加，得
(k 1 +k 2 +…+k n )m≤k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+…+k n f(x n )≤(k 1 +k 2 +…+k n )M，
即
由介值定理，存在ξ∈[a，b]，使得
注意到k i ＞0(i=1，2，…，n)，所以有k i m≤k i f(x i )≤k i M(i=1，2，…，n)，同向不等式相加，得
(k 1 +k 2 +…+k n )m≤k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+…+k n f(x n )≤(k 1 +k 2 +…+k n )M，
即
由介值定理，存在ξ∈[a，b]，使得