【正确答案】注意到积分区域D分别关于x轴和y轴对称，被积函数无论是关于x还是关于y都是偶函数，要充分利用它们简化计算．

解一 由区域的对称性和被积函数的奇偶性，有
f(x，y)dσ=4f(x，y)dσ，
其中D₁为D在第一象限的部分，如图1．5．3．3所示，则
D₁=D₁₁+D₂₂
={(x，y)∣0≤x≤1，0≤y≤1一x)+{(x，y)∣1≤x+y≤2，x≥0，y≥0}，
易求得f(x，y)dσ=x²dxdy=∫₀¹dx∫₀^1-xx²dy=.
注意到D₂₂上的被积函数为f(x，y)=1／这时需用极坐标系计算的被积函数．为计算D₂₂上的二重积分，可引入极坐标系(r，θ)．令x=rcosθ，y=rsinθ，在极坐标系(r，θ)中x+y=l的方程为r=1／(cosθ+sinθ)，x+y=2的方程为r=2／(cosθ+sinθ)，
因而
D₂₂={(r，θ)∣0≤θ≤π／2，1／(cosθ+sinθ)≤r≤2／(cosθ+sinθ)}．

故f(x，y)dσ=4f(x，y)dσ=4[+√2ln(1+√2)]=