解答题
19.f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，且f(-1)=0，f(1)=1，f'(0)=0．证明：存在ξ∈(-1，1)，使得f"'(ξ)=3．
【正确答案】由泰勒公式得
两式相减得f"'(ξ1)+f"'(ξ2)=6．
因为f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，所以f"'(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f"'(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f"'(ξ1)+f"'(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．
由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]
两式相减得f"'(ξ1)+f"'(ξ2)=6．
因为f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，所以f"'(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f"'(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f"'(ξ1)+f"'(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．
由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]
【答案解析】