问答题
设f(x)=x
3
+1一x∫
0
x
f(t)dt+∫
0
x
tf(t)dt，其中f(x)为连续函数，求f(x)．
【正确答案】正确答案：将所给表达式两端关于x求导，得 f'(x)=3x
2
一∫
0
x
f(t)dt-xf(x)+xf(x)=3x
2
一∫
0
x
f(t)dt， 两端关于x再次求导，得 f"(x)=6x一f(x) 即 f"(x)+f(x)=6x． 将此方程认作为二阶常系数非齐次线性微分方程，相应的齐次微分方程的特征方程为 r
2
+1=0． 特征根为r
1
=i，r
2
=-i． 齐次方程的通解为C
1
cos x+C
2
sin x． 设非齐次方程的一个特解为f
0
(x)．由于α=0不为特征根，可设f
0
(x)=Ax，将f
0
(x)代入上述非齐次微分方程可得A=6．因此f
0
(x)=6x．非齐次方程的通解为 f(x)=C
1
cosx+C
2
sin x+6x 由初始条件f(0)=1，f'(0)=0，可得出 C
1
=1，C
2
=一6． 故f(x)=cosx一6sin x+6x为所求函数．
【答案解析】