问答题
已知
问答题
求这个方程和它的通解；
【正确答案】由线性方程解的叠加原理[*]
[*]
均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的．于是相应的特征方程为
(λ+2)2=0，即λ2+4λ+4=0．
原方程为 y"+4y'+4y=f(x)． ①
由于y*(x)=xe-x是它的特解，求导得
y*'(x)=e-x(1-x)，y*"(x)=e-x(x-2)．
代入方程①得e-x(x-2)+4e-x(1-x)+4xe-x=f(x)
[*] f(x)=(x+2)e-x
[*]原方程为y"+4y'+4y=(x+2)e-x，其通解为
y=C1e-2x+C2xe-2x+xe-x，其中C1，C2为[*]常数．
[*]
均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的．于是相应的特征方程为
(λ+2)2=0，即λ2+4λ+4=0．
原方程为 y"+4y'+4y=f(x)． ①
由于y*(x)=xe-x是它的特解，求导得
y*'(x)=e-x(1-x)，y*"(x)=e-x(x-2)．
代入方程①得e-x(x-2)+4e-x(1-x)+4xe-x=f(x)
[*] f(x)=(x+2)e-x
[*]原方程为y"+4y'+4y=(x+2)e-x，其通解为
y=C1e-2x+C2xe-2x+xe-x，其中C1，C2为[*]常数．
【答案解析】
问答题
设y=y(x)是该方程满足y(0)=0，y'(0)=0的特解，求
【正确答案】[*]C1，C2，方程的[*]解y(x)均有
[*]
不必由初值来定C1，C2，直接将方程两边积分得
[*]
[*]
不必由初值来定C1，C2，直接将方程两边积分得
[*]
【答案解析】
问答题
设连续函数f(x)满足
，求
，求
【正确答案】因为[*]f(y)f(y-x)dy，所以在[0，1]上积分上式可得
[*]
将累次积分表成二重积分后交换积分顺序，可得
[*]
(其中D如图)
[*]
再对内层积分作变量替换并凑微分可得
[*]
故[*]解得I=2．
【答案解析】
问答题
设u=u(x，y)由方程组
确定，其中φ(υ)，ψ(υ)有连续的二阶导数且yφ"(υ)+ψ"(υ)≠0，求证：
确定，其中φ(υ)，ψ(υ)有连续的二阶导数且yφ"(υ)+ψ"(υ)≠0，求证：
【正确答案】这是由两个方程式构成的方程组，有4个变量：x，y，u，υ．按题意x，y为自变量，而u，υ均为x，y的函数：u=u(z，y)，υ=υ(x，y)．
将第一个方程两边分别对x，y求偏导数，并利用第二个方程得
[*]
进一步求得
[*]
由条件知[*]均连续[*]于是
[*]
因此[*]
【答案解析】
问答题
设函数
计算二重积分
计算二重积分
【正确答案】记D1={(x,y)|x2+y2≥1，x2+y2≤2y，x＞0}，如图，则
[*]
[*]
作极坐标变换求此二重积分．因方程x2+y2=1，x2+y2=2y对应的极坐标方程分别为r=1，r=2sinθ，解此方程组，得2sinθ=1，θ=[*]．于是D1的极坐标表示：
[*]
[*]
[*]
作极坐标变换求此二重积分．因方程x2+y2=1，x2+y2=2y对应的极坐标方程分别为r=1，r=2sinθ，解此方程组，得2sinθ=1，θ=[*]．于是D1的极坐标表示：
[*]
【答案解析】