【正确答案】f(x)的反函数为g(x)=ln x．设直线y=kx+1与g(x)=lnx的图象在P(x₀，y₀)处相切，则有y₀=kx₀+1=lnx₀，k=g＇(x₀)=，解得x₀=e²，k=.

【正确答案】曲线y=e^x与y=mx²的公共点个数等于曲线y=与y=m的公共点个数．
令φ(x)=，则φ＇(x)=．∴φ＇(2)=0．当x∈(0，2)时，φ＇(x)＜0，φ(x)在(0，2)上单调递减；当x∈(2，+∞)时，φ＇(x)＞0，φ(x)在(2，+∞)上单调递增，
∴φ(x)在(0，+∞)上的最小值为φ(2)=．当0＜m＜时，曲线y=与y=m无公共点；当m=时，曲线y=与y=m恰有－个公共点；当m＞时，在区间(0，2)内存在x=，使得φ(x₁)＞m，
在(2,+∞)内存在x₂=me²，使得φ(x₂)＞m．由φ(x)的单调性知，曲线y=与y=m在(0，+∞)上恰有两个公共点．综上所述，当x＞0时，若0＜m＜，曲线y=f(x)与y=mx²没有公共点；若m=，曲线y=f(x)与y=mx²有－个公共点；若m＞

【正确答案】解法－：可以证明．事实上，(b＞a)(*)．令φ(x)=(x≥0)，则 φ＇(x)=≥0(仅当x=0时等号成立)，∴φ(x)在[0，+∞)上单调递增，∴x＞0时，φ(x)＞φ(0)=0．令x=b－a，即得(*)式，结论得证．
解法二：[(b－a)e^b-a+(b－a)－2e^b-a+2]，设函数u(x)=xe^x+x－2e^x+2(x≥0)，则u＇(x)=e^x+xe^x+1—2e^x，
令h(x)=u＇(x)，则h＇(x)=e^x+e^x+xe^x－2e^x=xe^x≥0(仅当x=0时等号成立)．∴u＇(x)单调递增，
∴当x＞0时，u＇(x)＞u＇(0)=0．∴u(x)单调递增．当x＞0时，u(x)＞u(0)=0．令x=b－a，则得(b－(x)e^b-a+(b－a)－2e^b-a+2＞0，∴