【正确答案】正确答案： (1)因为A有n个互不相同的非零特征值λ=1，2，…n，|A|=n!≠0，故A为可逆矩阵，从而有 |λE－AB|=|A(λA ^－1 －B)|=|A(λE－BA)A ^－1 | =|A||λE－BA||A ^－1 |=|λE－BA| 即AB和BA有相同的特征多项式．故有相同的特征值． 又若取可逆矩阵P=A，则有P ^－1 ABP=A ^－1 ABA=BA，故有AB~BA． (2)若AB有特征值λ=0，则|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|=0．故BA也有特征值λ=0． 若AB有特征值λ≠0，按定义，有 ABξ=λξ(ξ≠0)， 其中ξ是AB的对应特征值λ的特征向量． 用B左乘上式两端，得 BABξ=λBξ， 即 BA(Bξ)= λ(Bξ)， 其中Bξ≠0(若Bξ=0，则有ABξ=λξ0．因ξ≠0，得λ=0，这和λ≠0矛盾)．BA也有非零特征值λ，对应的特征向量为Bξ． 故AB和BA有相同的特征值． 一般AB与BA不相似．例如，