(2010年)设A＝
，正交矩阵Q使得Q
T
AQ为对角矩阵．若Q的第1列为
，正交矩阵Q使得Q
T
AQ为对角矩阵．若Q的第1列为
【正确答案】正确答案：由题设，ξ＝(1，2，1)
T
为A的一个特征向量，于是有Aξ＝λ
1
ξ，即
得A的特征值为2，5，－4． 对于特征值5，求齐次线性方程组(5I－A)χ＝0的基础解系，由
得通解χ
1
＝χ
3
，χ
2
＝－χ
3
(χ
3
任意)．令χ
3
＝1，得基础解系为(1，－1，1)
T
，将其单位化，得属于特征值5的一个单位特征向量为
(1，－1，1)
T
． 同理可求得属于特征值－4的一个单位特征向量为
(－1，0，1)
T
．
得A的特征值为2，5，－4． 对于特征值5，求齐次线性方程组(5I－A)χ＝0的基础解系，由
得通解χ
1
＝χ
3
，χ
2
＝－χ
3
(χ
3
任意)．令χ
3
＝1，得基础解系为(1，－1，1)
T
，将其单位化，得属于特征值5的一个单位特征向量为
(1，－1，1)
T
． 同理可求得属于特征值－4的一个单位特征向量为
(－1，0，1)
T
．
【答案解析】