【正确答案】[分析] 为确定L的凹凸性，须先求二阶导数并确定其正负，要解第(Ⅱ)问，首先要求出曲线上点(x₀，y₀)对应的参数t₀处的斜率，然后求出切线方程，由(Ⅰ)和(Ⅱ)可知所求平面图形的基本形状，从而求出其面积．
[解法一] (Ⅰ)由于

(Ⅱ)当t=0时，x'(0)=0，y'(0)=4，x(0)=1，y(0)=0，
则t=0时，L在对应点处切线方程为x=1，不合题意，故设切点(x₀，y₀)对应的参数为t₀＞0，则L在(x₀，y₀)处的切线方程为

令x=1，y=0，得
解得t₀=1或t₀=-2(舍去)
由t₀=1知，切点为(2，3)，且切线方程为y=x+1．
(Ⅲ)令y=4t-t²=0，得t₁=0，t₂=4，对应曲线L与x轴的两个交点(1，0)和(17，0)，由以上讨论知曲线L和所求的切线如图所示，故所求平面图形的面积为


[解法二] (Ⅰ)同解法一．
(Ⅱ)由
由于当x₀=1时，L在对应点处切线方程为x=1，不合题意，故可设L在点(x₀，y₀)处的切线
方程为

将x=1，y=0代入上式，得

即整理得

解得x₀=2，并得y₀=3，因此切线方程为y=x+1．
(Ⅲ)在中令y=0，得L与x轴的交点为(1，0)和(17，0)，故所求平面图形的面积为