解答题
设数列{xn}满足0＜x1＜1，ln(1+xn)=exn+1-1(n=1，2，…)．证明
问答题
当0＜x＜1时，ln(1+x)＜x＜ex-1；
【正确答案】
【答案解析】[证] 记F1(x)=ln(1+x)-x，则
问答题
【正确答案】
【答案解析】[证] 当0＜x＜1时，
ln(1+x)＜x＜ex-1.
由0＜x1＜1，可知
0＜ex2-1=ln(1+x1)＜x1＜1，
从而0＜x2＜1.同理可证当0＜xk＜1时，xk+1同样满足0＜xk+1＜1，由数学归纳法知对一切n=1，2，…，有0＜xn＜1，即数列{xn}是有界的．
又当0＜x0＜1时，xn+1＜exn+1-1=ln(1+xn)＜xn，即{xn}单调减少．
由单调有界准则知
存在．将该极限值记为a，则a≥0.
对ln(1+xn)=exn+1-1两边取极限，得
ln(1+a)=ea-1.
设f(x)=ex-1-ln(1+x)，当0＜x＜1时，
因此f(x)单调增加．由f(0)=0，可知f(x)＞0，从而只有a=0，即
ln(1+x)＜x＜ex-1.
由0＜x1＜1，可知
0＜ex2-1=ln(1+x1)＜x1＜1，
从而0＜x2＜1.同理可证当0＜xk＜1时，xk+1同样满足0＜xk+1＜1，由数学归纳法知对一切n=1，2，…，有0＜xn＜1，即数列{xn}是有界的．
又当0＜x0＜1时，xn+1＜exn+1-1=ln(1+xn)＜xn，即{xn}单调减少．
由单调有界准则知
存在．将该极限值记为a，则a≥0.对ln(1+xn)=exn+1-1两边取极限，得
ln(1+a)=ea-1.
设f(x)=ex-1-ln(1+x)，当0＜x＜1时，
因此f(x)单调增加．由f(0)=0，可知f(x)＞0，从而只有a=0，即