解答题
21.An×n=(α1，α2，…，αn)，Bn×n=(α1+α2，α2+α3，…，αn+α1)，当r(A)=n时，方程组BX=0是否有非零解?
【正确答案】方法一
B=(α1+α2，α2+α3，…，αn+α1)=(α1，α2，…，αn)
由r(A)=n可知｜A｜≠0，而｜B｜=｜A｜
=｜A｜[1+(-1)n+1]，
当n为奇数时，｜B｜≠0，方程组BX=0只有零解；
当n为偶数时，｜B｜=0，方程组BX=0有非零解．
方法二BX=0
x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+…+xn(αn+α1)=0
(x1+xn)α1+(x1+x2)α2+…+(xn-1+xn)αn=0，
因为α1，α2，…，αn线性无关，
所以
B=(α1+α2，α2+α3，…，αn+α1)=(α1，α2，…，αn)
由r(A)=n可知｜A｜≠0，而｜B｜=｜A｜
=｜A｜[1+(-1)n+1]，当n为奇数时，｜B｜≠0，方程组BX=0只有零解；
当n为偶数时，｜B｜=0，方程组BX=0有非零解．
方法二BX=0
x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+…+xn(αn+α1)=0(x1+xn)α1+(x1+x2)α2+…+(xn-1+xn)αn=0，因为α1，α2，…，αn线性无关，
所以
【答案解析】