问答题
求f(x，y，z)=2x+2y-z
2
+5在区域Ω：x
2
+y
2
+z
2
≤2上的最大值与最小值．
【正确答案】
【答案解析】[分析与求解] f(x，y，z)在有界闭区域Ω上连续，一定存在最大、最小值．
第一步，先求f(x，y，z)在Ω内的驻点．
由
知f(x，y，z)在Ω内无驻点，因此f(x，y，z)在力的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到．
第二步，求f(x，y，z)在Ω的边界x 2 +y 2 +z 2 =2上的最大、最小值，即求f(x，y，z)在条件x 2 +y 2 +z 2 -2=0下的最大、最小值．
令F(x，y，z，λ)=2x+2y-z 2 +5+λ(x 2 +y 2 +z 2 -2)，解方程组
由①，②知x=y，由③知z=0或λ=1．由x=y，z=0代入④知x=y=±1，z=0．当λ=1时由①，②，④也得x=y=-1，z=0．因此得驻点P 1 (-1，-1，0)与P 2 (1，1，0)．计算得知f(P 1 )=1，f(P 2 )=9．
因此，f(x，y，z)在Ω的最大值为9，最小值为1．
第一步，先求f(x，y，z)在Ω内的驻点．
由
知f(x，y，z)在Ω内无驻点，因此f(x，y，z)在力的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到．
第二步，求f(x，y，z)在Ω的边界x 2 +y 2 +z 2 =2上的最大、最小值，即求f(x，y，z)在条件x 2 +y 2 +z 2 -2=0下的最大、最小值．
令F(x，y，z，λ)=2x+2y-z 2 +5+λ(x 2 +y 2 +z 2 -2)，解方程组
由①，②知x=y，由③知z=0或λ=1．由x=y，z=0代入④知x=y=±1，z=0．当λ=1时由①，②，④也得x=y=-1，z=0．因此得驻点P 1 (-1，-1，0)与P 2 (1，1，0)．计算得知f(P 1 )=1，f(P 2 )=9．
因此，f(x，y，z)在Ω的最大值为9，最小值为1．