问答题
设A，B是n阶方阵，证明：AB，BA有相同的特征值．
【正确答案】
【答案解析】【证】方法一 利用特征值的定义．
设AB有任一特征值λ，其对应的特征向量为ξ，则
ABξ=λξ． ①
①式两边左乘B，得
BABξ=BA(ξ)=λ(ξ)． ②
若Bξ≠0，②式说明，BA也有特征值λ(其对应的特征向量为Bξ)，若Bξ=0，由①式知，λξ=0，ξ≠0，得AB有特征值λ=0，从而|AB|=0，且|BA|=|B||A=|A||B|=|AB|=0，从而BA也有λ=0的特征值．
故AB和BA有相同的特征值．
方法二 利用特征方程及分块矩阵的运算．
设AB有特征值λ，即有|λE-AB|=0，因
设AB有任一特征值λ，其对应的特征向量为ξ，则
ABξ=λξ． ①
①式两边左乘B，得
BABξ=BA(ξ)=λ(ξ)． ②
若Bξ≠0，②式说明，BA也有特征值λ(其对应的特征向量为Bξ)，若Bξ=0，由①式知，λξ=0，ξ≠0，得AB有特征值λ=0，从而|AB|=0，且|BA|=|B||A=|A||B|=|AB|=0，从而BA也有λ=0的特征值．
故AB和BA有相同的特征值．
方法二 利用特征方程及分块矩阵的运算．
设AB有特征值λ，即有|λE-AB|=0，因