设f(χ)在[0，2]上连续，在(0，2)内具有二阶导数，且f(0)＝f(2)＝0，f(1)＝2．求证：至少存在一点ξ∈(0，2)使得f〞(ξ)＝－4．
【正确答案】正确答案：转化为证明某函数的二阶导数在(0，2)
零点．设 g〞(χ)＝－4．令F(χ)＝f(χ)－g(χ)则
ξ∈(0，2)，使f〞(ξ)＝－4
F〞(ξ)＝0． 注意g(χ)＝－2χ
2
＋c
1
χ＋c
2
，于是 F(0)＝f(0)－g(0)＝－c
2
F(1)＝f(1)－g(1)＝4－c
1
－c
2
F(2)＝f(2)－g(2)＝8－2c
1
－c
2
为使F(0)＝F(1)＝F(2)，取c
1
＝4，c
2
＝0，F(χ)＝f(χ)－g(χ)＝f(χ)－(－2χ
2
×4χ) 满足F(0)＝F(1)＝F(2)＝0．由于函数F(χ)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，因而可在区间[0，1]与[1，2]上分别对函数F(χ)应用罗尔定理，从而知分别存在η
1
∈(0，1)与η
2
∈(1，2)使得F′(η
1
)＝F′(η
2
)＝0，由题设知F′(χ)在区间[η
1
，η
2
]上也满足罗尔定理的条件，再在区间[η
1
，η
2
]上对导函数F′(χ)应用罗尔定理，又知存在ξ∈(η
1
，η
2
)
零点．设 g〞(χ)＝－4．令F(χ)＝f(χ)－g(χ)则
ξ∈(0，2)，使f〞(ξ)＝－4
F〞(ξ)＝0． 注意g(χ)＝－2χ
2
＋c
1
χ＋c
2
，于是 F(0)＝f(0)－g(0)＝－c
2
F(1)＝f(1)－g(1)＝4－c
1
－c
2
F(2)＝f(2)－g(2)＝8－2c
1
－c
2
为使F(0)＝F(1)＝F(2)，取c
1
＝4，c
2
＝0，F(χ)＝f(χ)－g(χ)＝f(χ)－(－2χ
2
×4χ) 满足F(0)＝F(1)＝F(2)＝0．由于函数F(χ)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，因而可在区间[0，1]与[1，2]上分别对函数F(χ)应用罗尔定理，从而知分别存在η
1
∈(0，1)与η
2
∈(1，2)使得F′(η
1
)＝F′(η
2
)＝0，由题设知F′(χ)在区间[η
1
，η
2
]上也满足罗尔定理的条件，再在区间[η
1
，η
2
]上对导函数F′(χ)应用罗尔定理，又知存在ξ∈(η
1
，η
2
)
【答案解析】