问答题
已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0，设α=(1，2，-1)T且满足Aα=2α.
(Ⅰ)求该二次型表达式；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；
(Ⅲ)若A+kE正定，求k的取值.
(Ⅰ)求该二次型表达式；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；
(Ⅲ)若A+kE正定，求k的取值.
【正确答案】(Ⅰ)据已知条件，有
即
解出a12=2，a13=2，a23=-3
所以xTAx=4x1x2+4x1x3-4x2x3.
(Ⅱ)由
得矩阵A的特征值为2，2，-4.
由(2E-A)=0，
得λ=2的特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T；
由(-4E-A)x=0，
得λ=-4的特征向量α3=(-1，1，1)T.
将α1，α2正交化，令β1=α1，则
再对β1，β2，α3单位化，有
那么令
有
即
解出a12=2，a13=2，a23=-3所以xTAx=4x1x2+4x1x3-4x2x3.
(Ⅱ)由
得矩阵A的特征值为2，2，-4.
由(2E-A)=0，
得λ=2的特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T；
由(-4E-A)x=0，
得λ=-4的特征向量α3=(-1，1，1)T.
将α1，α2正交化，令β1=α1，则
再对β1，β2，α3单位化，有
那么令
有【答案解析】