问答题
设f(x)连续，且满足∫
0
1
f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．
【正确答案】正确答案：令tx=s，原方程改写成
∫
0
x
f(s)ds=f(x)+xsinx(x≠0)，即∫
0
x
f(s)ds=xf(x)+x
2
sinx．(
x) ① 将①式两边对x求导可得 f(x)=xf'(x)+f(x)+(x
2
sinx)， 即 f'(x)=一
． ② (x=0时两端自然成立，不必另加条件．) 再将②式两边直接积分得 f(x)=一
∫
0
x
f(s)ds=f(x)+xsinx(x≠0)，即∫
0
x
f(s)ds=xf(x)+x
2
sinx．(
x) ① 将①式两边对x求导可得 f(x)=xf'(x)+f(x)+(x
2
sinx)， 即 f'(x)=一
． ② (x=0时两端自然成立，不必另加条件．) 再将②式两边直接积分得 f(x)=一
【答案解析】