【正确答案】二次型f的矩阵[*]，由λ=4是矩阵A的特征值，有
[*]
所以a=3．
由矩阵A的特征多项式
[*]
得到矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=4，λ₃=-2．
对于λ=1，由(E-A)x=0，[*]
得到矩阵A属于λ=1的特征向量α₁=(-1，1，1)^T．
对于λ=4，由(4E-A)x=0，
[*]
得到矩阵A属于λ=4的特征向量α₂=(1，-1，2)^T．
对于λ=-2，由(-2E-A)x=0，
[*]
得到矩阵A属于λ=-2的特征向量α₃=(1，1，0)^T．
由于α₁，α₂，α₃已两两正交，故只需单位化，有
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那么，令
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在正交变换x=Qy下，有
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二次型[*]．

【正确答案】因为矩阵A的特征值是1，4，-2，所以行列式|A|=-8．于是A^*的特征值为-8，-2，4．那么A^*+kE的特征值为k-8，k-2，k+4．因此，A^*+kB正定的充分必要条件为k＞8．